CALCUL DE PI :
Voici la méthode que j’ai trouvé et qui s'avère être celle utilisée par Archimède . Vous trouverez d'autres adaptations et plein d'autres renseignement sur PI sur le site http://www.nombrepi.com/ . En partant du principe que PI possède une infinité de chiffres après la virgule, on ne peut alors que l’évaluer . Dès lors pourquoi ne pas considérer un cercle comme un polygone régulier avec une infinité de cotés . On peut facilement calculer un carré à l’intérieur d’un cercle (le carré étant déjà un polygone à 4 cotés ) .

Optons que le rayon du cercle est R, le coté du carré est C Le coté C se calcule comme suit :  on peut donc déduire cette formule : mais on est encore loin de PI .

On en déduit finalement :

On s'approchera un peu plus de PI :

Figure b:

Voici maintenant ce calcul programmé en GFA BASIC :

OPENW #1,0,0,640,480,-1
rayon = 1
cote = SQR(2 * (rayon ^ 2))
nc% = 4
EvalPi = (cote * nc%) / (2 * rayon)
DO
 ' ici le calcul proprement dit
 K = cote / 2
 L = rayon - SQR(rayon ^ 2 - (cote / 2) ^ 2)
 cote = SQR(K ^ 2 + L ^ 2)
 nc% = nc% * 2
 EvalPi = (cote * nc%) / (2 * rayon)
 CLS
 RGBCOLOR RGB(0,0,0)
 ? AT(0,0)
 ? "Nombre de cotês : ";nc%
 ' ici l'affichage du rêsultat
 PRINT "PI ~= ";EvalPi
 ' Et lá l'afficage d'un polygone á N cotês
 RGBCOLOR RGB(0,0,0)
 CIRCLE 200,200,100
 FOR i% = 1 TO 2
   x1 = 200 + SIN(i% * 2 * PI / nc%) * 100
   x2 = 200 + SIN(SUCC(i%) * 2 * PI / nc%) * 100
   y1 = 200 + COS(i% * 2 * PI / nc%) * 100
   y2 = 200 + COS(SUCC(i%) * 2 * PI / nc%) * 100
   RGBCOLOR RGB(255,0,0)
   LINE x1,y1,x2,y2
   RGBCOLOR RGB(0,255,0)
   LINE 200,200,x1,y1
 NEXT i%
 PAUSE 30
 PEEKEVENT
 EXIT IF MENU(1) = 4
LOOP
CLOSEW #1

---

Une autre méthode bien connue :

L'adaptation en GFA-Basic donne :

DO
 r1 = 4 / ((8 * n%) + 1 )
 r2 = 2 / ((8 * n%) + 4 )
 r3 = 1 / ((8 * n%) + 5 )
 r4 = 1 / ((8 * n%) + 6 )
 r5 = (1 / 16) ^ n%
 m = (r1 - r2 - r3 - r4) * r5
 r = r + m
 ? r
 INC n%
 PAUSE 10
LOOP

---

Une méthode très interessante

L'algorithme utilisé repose sur une série d'Euler :

J'ai trouvé cette formule sur ce site : http://membres.lycos.fr/freyssin/div/pi.html. L'auteur du site recommande un livre "passionnant et très bien illustré" :"Le fascinant nombre Pi" par Jean-Paul Delahaye, aux éditions Pour La Science - Belin (ISBN : 2-9029-1825-9) pages 94 à 98.



L'adapatation en GFA-Basic :

P = 1,B = 1,C = 1
FOR A% = 1 TO 50
 B = B * A%
 C = C * SUCC(MUL(A%,2))
 P = P + (B / C)
NEXT A%
? "PI ~= "; P * 2
KEYGET RIEN%

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Avec la calculette...

Je ne sais plus comment j'ai trouvé ce calcul, c'était pendant un cours de math il y a une dizaine d'année, je tripotait ma calculatrice quand j'eu soudain un résultat surprenant .
Je met ma calculatrice en Degrés, je tape 0.0018 puis sin et j'obtiens  3,141592653073e-5 que je multiplie par 100000 et ca donne presque PI . En fait plus on met de zéros derrière la virgule plus on sera précis .
Voici donc la formule en question :
Si j'ai pris 18 comme nombre ce n'est pas par hazard . Il s'agit de 180 en fait . C'est à dire 360° / 2 . Ce qui correspond à PI en radian . Comme quoi les degrés sont convertis en radian avant le calcul .

Petit rectificatif : Il faut diviser 180 et non 18 ! (Merci à Daniel Mihalcea)
http://www.miha.net - site personnel
http://mathrix.virtualave.net - annuaire de recherche mathematique

voir aussi une page hyper-complète sur le calcul de PI : http://perso-info.enst-bretagne.fr/~brouty/Maths/pi.html